椭圆的周长
我们在椭圆页面学习了椭圆的定义和一些简单属性，在这里我们会学习怎样较为精确地计算它的周长。
周长
奇怪的是，椭圆的周长是很难计算的！
有很多公式，有些公式相当有趣。
注意：a 和 b 是从中心度量的，就像 "半径" 一样。
估计 1
这个估计与正确的答案只有 5% 的差别，但a不能比b长三倍以上（就是说，椭圆不能太 "扁"）：
估计 2
著名印度数学家拉马努金找到这个更好的估计：
估计 3
这个也是拉马努金提出的。我们先求 "h"：
然后代入：
无穷级数 1
这是个绝对精确的公式，但需要计算 "无穷的级数" 来得到绝对精确的答案，所以实际上我们只能得到一个近似值。
我们先求 e （"偏心率"， 不是 欧拉数"e"）：
然后用这个 "无穷级数" 公式：
乍看很复杂，但我们可以把它展开为：
级数一直延续到无穷大，我们也需要计算很多项的和才能得到一个相当精确的答案。
无穷级数 2
我最喜爱的绝对精确公式（因为用几个项就可以得到非常精确的答案）是：
先求 "h"：
然后代入这个 "无穷级数" 公式：
（主要： 是半整数阶乘的二项式系数！）
很可怕的公式！但其实可以展开为：
相加的越多项，答案就越精确（下一项是 25h4/16384，一个相当小的数，在下一个是 49h5/65536，接着是 441h6/1048576）
比较
做一个比较，我用上面的三个估计方法和两个精确方法（只用了头四项，所以也是个估计）来计算这些椭圆的周长：
圆
线
a：
1010101010
b：
105310
估计 1：
62.83249.67346.38544.6544.429
估计 2：
62.83248.44243.85740.60639.834
估计 3：
62.83248.44243.85940.63939.984
级数 1:
62.83248.87645.17443.20442.951
级数 2:
62.83248.44243.85940.62339.884
精确答案*:
20π
40
* 绝对精确：
如果 a=b，椭圆是个圆，周长是 2πa（在这个例子是 62.832……）。
如果 b=0（图形是两条直线重叠），周长是 4a（在这个例子是 40）。
所有方法都计算了精确的圆周，但如果椭圆是直线（b=0），只有估计 2 和 3 及 级数 2 的答案接近 40。
椭圆
几何索引